Личная жизнь
Родился 24 ноября 1952, в деревне Байкалово, Приморского района, Архангельской области.
1973 год — окончил Архангельское мореходное училище.
1979 год — окончил Ленинградское высшее инженерное морское училище имени адмирала Макарова.
Окончил Ленинградскую высшую партийную школу.
1995 год — окончил Дипломатическую академию МИД России по специальности «Международное право».
1997 год — кандидат юридических наук. Защитил диссертацию на тему: «Избирательные стандарты в международном праве и их реализация в законодательстве Российской Федерации».
Вешняков женат, у него двое детей — сын Алексей и дочь Анжела.
Свободно говорит на русском, латышском и английском языках.
Карьера
В 1973—1979 годах работал на судах Северного морского пароходства.
С 1979 года — заместитель секретаря комитета ВЛКСМ Северного морского пароходства, затем — старший инспектор отдела организации работы с моряками загранплавания Северного морского пароходства.
С 1983 года — заместитель секретаря парткома Северного речного пароходства.
С 1985 года — секретарь парткома Северного речного пароходства.
В 1987—1990 годах — секретарь Архангельского горкома КПСС и депутат Архангельского городского Совета народных депутатов.
В 1990—1993 годах — народный депутат РСФСР, член Верховного Совета Российской Федерации.
1990—1991 — заместитель Председателя Совета Республики Верховного Совета Российской Федерации.
1991—1993 — председатель подкомиссии Комиссии Совета Республики по транспорту, связи, информатике и космосу.
С ноября 1993 года — советник Департамента морского транспорта Министерства транспорта Российской Федерации.
С марта 1994 года работал в Центральной избирательной комиссии Российской Федерации. 21 марта 1995 года избран Секретарём Центральной избирательной комиссии Российской Федерации. С 10 февраля 1999 года — член Центральной избирательной комиссии Российской Федерации нового состава. 24 марта 1999 года избран Председателем Центральной избирательной комиссии Российской Федерации нового состава. С августа 2000 года являлся руководителем Рабочей группы, образованной распоряжением Президента России для подготовки предложений по совершенствованию законодательства о выборах. 26 марта 2003 года вновь избран главой ЦИК России.
В качестве секретаря и председателя ЦИК провёл выборы:
Выборы в Государственную думу (1995)
Выборы президента России (1996)
Выборы в Государственную думу (1999)
Выборы президента России (2000)
Выборы в Государственную думу (2003)
Выборы президента России (2004)
Был одним из сторонников и инициаторов реформы верхней палаты и отказа от мажоритарной системы выборов в пользу пропорциональной.
26 марта 2007 года истёк срок полномочий прежнего состава Центризбиркома, включая его председателя Александра Вешнякова. В новый состав ЦИК Вешняков не вошёл. Его место занял Владимир Евгеньевич Чуров.
26 марта 2007 года награждён орденом «За заслуги перед Отечеством» II степени.
15 октября 2007 года Совет Федерации дал согласие на назначение Вешнякова послом России в Латвии.
11 января 2008 года был назначен Чрезвычайным и Полномочным Послом Российской Федерации в Латвии.
12 февраля 2008 вступил в должность Чрезвычайного и Полномочного Посла Российской Федерации в Латвии.